Tuvalet Kağıdı Stoklamak, Kağan Kurşungöz

COVID-19 virüsünün bütün dünyaya yayılmasından kısa bir süre sonra
bazı yerlerindeki marketlerde tuvalet kağıdı kalmadığını haberlerde dinledik.
Bu kısa nottaki amacımız, belirli koşullar altında evde bulunabilecek
en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısını belirlemek.
Tabii ki ihtimal dahilinde bulunmasını kastediyoruz, izin dahilinde değil!

Problemin çözümünü çok dallandırıp budaklandırmamak adına bazı kabuller yapacağız.
Diyelim ki 4 günde bir tuvalet kağıdı rulosu değiştirmeniz gerekiyor,
14 günde bir alışverişe gidiyorsunuz ve yalnızca ihtiyacınızı karşılayacak kadar
8’li rulolar halinde tuvalet kağıdı alıyorsunuz. Başka boy satılmıyor.

Örneğin, alışverişe gideceğiniz gün tuvalet kağıdınız bitti ve 8’li rulolardan bir tane aldınız.
Alışverişiniz sonrasında dördüncü, sekizinci ve on ikinci günlerde
birer rulo tuvalet kağıdını bitirdiniz ve bir sonraki alışverişinizde evde hala beş rulo tuvalet kağıdı var.
Birisi yarım, ama olsun.
Görüldüğü gibi, 8’li rulolardan iki tane almamız gerekmiyordu,
çünkü on dört gün içinde 8’li ruloyu bitirmenize imkan yok.

Bu seferki alışverişinizde tuvalet kağıdı almadınız,
ve bu alışverişinizi takip eden ikinci, altıncı, onuncu ve on dördüncü günlerde birer tuvalet kağıdı bitirdiniz. Üçüncü sefer alışverişe gideceğiniz gün evde yalnızca bir tam tuvalet kağıdı rulosu var.
Dolayısıyla, üçüncü seferki alışverişinizde 8’li rulolardan bir adet almanız gerekiyor.

Bu örneği birkaç alışveriş sonrasında da devam ettirdiğimizde evdeki tuvalet kağıdı rulosu 3 veya daha az sayıda olduğunda 8’li rulolardan bir adet almamız gerektiği, dolayısıyla herhangi bir anda evdeki tuvalet kağıdı rulosu sayısının en fazla 11 olacağını hesaplarız. Aynı örnekte eğer tuvalet kağıdı rulolarını alışverişler sonrası dördüncü veya ikinci gün yerine birinci veya üçüncü günde değiştiriyor olsaydınız herhangi bir anda evdeki tuvalet kağıdı rulo sayısının en fazla 12 olduğunu görecektik.

Olası bütün durumları incelediğimiz için k = 4 günde bir tuvalet kağıdı bitirdiğiniz,
n = 14 günde bir alışverişe gidip m = 8’li rulolardan gerektiği kadar aldığınız durumda
evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısı 12.

Basitleştirici bir yaklaşımla, evdeki tuvalet kağıdı rulosu sayısının bir gerçel sayı olduğunu düşünelim. Oran orantı ile k günde bir tuvalet kağıdı bitiyorsa bir günde 

dolayısıyla n günde  tuvalet kağıdı biter.

Görürüz ki, alışverişe gideceğimiz andaki tuvalet kağıdı sayısı  ’dan küçük ise,

o alışverişte m’li tuvalet kağıtlarından almamız gerekecek(*),

dolayısıyla evdeki tuvalet kağıdı sayısı en fazla olacak.

Yukarıdaki örneğimizde    .

Elbette ki tuvalet kağıdı rulosu sayısından tamsayı olarak bahsetmek daha doğal olduğu için 11,5 rulo yerine 12, yani 11,5’a eşit veya ondan büyük tamsayıların en küçüğü olan [11,5] = 12 deriz.

Dolayısıyla problemimizin çözümü

olur.

Yukarıda (*) işaretli cümlede aslında ilk örneğimizde ima edildiği şekilde m’li tuvalet kağıdı rulolarından yalnızca bir tane alacağınızı ya da hiç almayacağınızı varsaydık.
İlk örneğimizi biraz değiştirelim.
Diyelim ki hala k = 4 günde bir tuvalet kağıdı rulosu bitiriyorsunuz,
tuvalet kağıtları hala m = 8’li rulolar halinde satılıyor,
fakat alışverişe n = 140 günde bir gidebileceksiniz.

Antarktika gibi uzak bir yerde saha araştırma laboratuvarında çalışıyor olabilirsiniz, vereceğiniz listeye göre birileri size 140 günde bir kocaman bir koli bırakıp gidiyordur.
Veya önümüzdeki 140 gün boyunca alışveriş ettiğiniz yerlerde tuvalet kağıdı bulamayacağınızı düşündünüz.

Öyle ya da böyle bir motivasyonla, örneğimizdeki n parametresi çok büyüdü.
Fakat hala öngördüğünüz ihtiyacınızdan fazla tuvalet kağıdı bulundurmadığınızı varsayıyoruz.

Yukarıdaki çözüm şablonumuz ile devam edersek,
140 günde 140 ⁄ 4 = 35 rulo tuvalet kağıdı kullanacaksınız.
Böylece, tuvalet kağıdı sayısı 35’in altına düştüğünde (34,99 gibi) 8’li rulolardan alarak rulo sayısının 35 veya daha fazla sayıda olmasını sağlamanız lazım.
Güncellenmiş örneğimizde evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulosu sayısı
[34,99 + 8] = 43.

Genel halde, ninci gün alışverişe gitmeden hemen önce evde kalan tuvalet kağıdı rulosu sayısı r

eşitsizliklerini sağlıyorsa,

m’li tuvalet kağıdı rulolarından

eşitsizliklerini sağlayan l sayısı kadar almanız gerekir.

Aslında (1) eşitsizliğinde  yerine m ve sayılarının küçüğü olan

sayısını yazmalıyız.

Yukarıda bahsettiğimiz gibi tuvalet kağıdı alma ihtiyacı için   olmalı,

öte yandan  r < m eşitsizliği sağlanmıyorsa bir önceki alışverişte

tuvalet kağıdını gerektiğinden fazla aldığımız anlamına gelir.

İlk örneğimizde,

olduğu için bunu açıkça görmemiştik.

Fakat problemin asıl çözümü (2) eşitsizliklerinde gizli.
m’li tuvalet kağıdı rulolarından l tane alacağız;
ve bir tane eksik, yani l − 1 tane alırsak ihtiyacımız karşılanmayacak.
Eşitsizliğin en sağı ve en solu arasındaki fark m olduğundan,
evde olabilecek en fazla tuvalet kağıdı rulo sayısını yine

buluruz.
Yani gözardı ettiğimiz kabul ilk bulduğumuz çözümü değiştirmiyor.

Tabii ki, ilginç bir yan soru olan “Çoklu tuvalet kağıdı rulolarından kaç tane almalıyız?” sorusunu da cevaplamış olduk böylece.
(2) eşitsizliğini birkaç aritmetik işlem sonrasında

haline getirirsek,  l’nin

sayısına eşit veya ondan büyük tamsayılardan en küçüğü, yani

olduğunu buluruz.

Bu da,   

durumunda l’nin alabileceği değerlerin
yalnızca 0 ve 1 olduğunu gösterir.
Yani, aldığımız m’li tuvalet kağıdının tümünü bir sonraki alışverişe kadar bitirmiyorsak (normal zamanda), bazı alışverişlerde m’li tuvalet kağıtlarından yalnızca bir tane almamız yeterli olur.

Yukarıdaki basit modeli [1]’deki gibi olasılık dağılımları bağlamında inceleyerek, tuvalet kağıdı satışlarının çok fazla arttığı dönemlerde insanların en az ne kadar süre alışverişe gidemeyeceklerini veya tuvalet kağıdı bulamayacaklarını, düşündükleri hakkında fikir yürütmek mümkündür.

 

 

Kaynakça:

1. Knuth, Donald E. “The toilet paper problem.”
   The American Mathematical Monthly,  91(8) 465–470, 1984.

 

 

Kağan Kurşungöz, Lisansını Sabancı Üniversitesi Bilgisayar Bilimi ve Mühendisliği ile Matematik alanında yüksek onur derecesiyle tamamlamıştır (2004). Matematik alanında doktora derecesini The Pennsylvania State Üniversitesi’nden almıştır (2009). Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi öğretim üyesidir. Kombinatorik bakış açısıyla tamsayı parçalanışları, parçalanış üreteç fonksiyonları, Rogers-Ramanujan genelleştirmeleri, q-serileri, sayı saymalı kombinatorik konularında çalışma ve araştırmalar yürütmektedir.